यदि sumlimits_{i = 1}^{20} {left( {frac{{{}^{ | vedclass

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Question

(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}}

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$100$

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(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.अतः,योग के अंदर का पद $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ है।सूत्र ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ का उपयोग करते हुए,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ प्राप्त होता है।इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.योग $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} ight)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ हो जाता है।घनों के योग का सूत्र $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} ight)^2$ का उपयोग करते हुए,$n=20$ के लिए:$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 	imes 21}{2} ight)^2 = (10 	imes 21)^2 = 100 	imes 21^2$.मान रखने पर: $S = \frac{100 	imes 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.दिया गया है $S = \frac{k}{21}$,अतः $k = 100$ प्राप्त होता है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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